Résolution d'équations - Exemples

On résout les équations suivantes sur \(\mathbb{R}\) .

1.  \(\text e^x = \text e^9\)  
La solution de l'équation  \(\text e^x = \text e^9\)  est  \(x = 9\) .
L'ensemble des solutions est \(S = \{9\}\) .

2.  \(\text e^x - \text e = 0\)  
On a  \(\text e^x - \text e^1 = 0 \Leftrightarrow \text e^x = \text e^1\Leftrightarrow x = 1\) .
L'ensemble des solutions est \(S = \{1\}\) . 

3.  \((\text e^x - \text e^{-2})( \text e^{12} - \text e^x ) = 0\)
L'équation est une équation produit nul, donc  \((\text e^x - \text e^{-2})( \text e^{12} - \text e^x ) = 0 \Leftrightarrow \text e ^x - \text e^{-2} = 0 \space \text o\text u \\ \space \text e^{12} - \text e^x = 0 \Leftrightarrow \text e^x = \text e^{-2} \space \text o\text u \space \text e^{12} = \text e^x \Leftrightarrow x=-2 \space \text o\text u \space 12=x\)
L'ensemble des solutions est \(S = \{-2 ; 12\}\) .

4   .  \((\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 = 0\)
On peut factoriser l'équation :     \((\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 = 0 \Leftrightarrow \text e^x (\text e^x -\text e^6 ) = 0 \\ \Leftrightarrow \text e^x = 0 \space \text o\text u \space \text e^x - \text e^6 = 0 \Leftrightarrow \text e^x = 0 \space \text o\text u \space x = 6\)
La fonction exponentielle n'étant jamais nulle, l'équation n'admet que 6 pour unique solution. L'ensemble des solutions est \(S = \{6 \}\) .

5  .  \(\text e^{8x + 2} = \text e^{4x - 2}\)
On a \(\text e^{8x + 2} = \text e^{4x - 2}\Leftrightarrow 8x + 2 = 4x - 2 \Leftrightarrow 4x = -4 \Leftrightarrow x = -1\)
L'ensemble des solutions est  \(S = \{-1 \}\) .

6  .  \(\text e^{x^2} - \text e^{2x - 1} = 0\)
On a
\(\text e^{x^2} - \text e^{2x - 1} = 0\Leftrightarrow \text e^{x^2} = \text e^{2x - 1}\Leftrightarrow x^2= 2x - 1 \\ \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 = 0 \Leftrightarrow x-1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
L'ensemble des solutions est \(S = \{1 \}\) .